Question

【題目】已知不等式ln（x+1）﹣1≤ax+b對一切x＞﹣1都成立，則 的最小值是（ ）
A.e﹣1
B.e
C.1﹣e﹣3
D.1

Answer 1

【答案】C
【解析】解：令y=ln（x+1）﹣ax﹣b﹣1，則y′= ﹣a，

若a≤0，則y′＞0恒成立，x＞﹣1時函數(shù)遞增，無最值．

若a＞0，由y′=0得：x= ，

當﹣1＜x＜ 時，y′＞0，函數(shù)遞增；

當x＞ 時，y′＜0，函數(shù)遞減．

則x= 處取得極大值，也為最大值﹣lna+a﹣b﹣2，

∴﹣lna+a﹣b+2≤0，

∴b≥﹣lna+a+2，

∴ ≥ ，令t= ，

∴t′= ，

∴（0，e3）上，t′＜0，（e3，+∞）上，t′＞0，

∴a=e3，tmin=1﹣e﹣3．

∴ 的最小值為1﹣e﹣3．

故選：C．