Question

（本小題滿分12分）
如圖，四棱錐S—ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=．

（Ⅰ）求面ASD與面BSC所成二面角的大小；
（Ⅱ）設棱SA的中點為M，求異面直線DM與SB所成角的大小；
（Ⅲ）求點D到平面SBC的距離．

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵SD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，
∴CD⊥平面SAD，AD⊥平面SDC，又在Rt△SDB中，．……1分
以D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DS為z軸，
建立空間直角坐標系，則，，，． …………2分
設平面SBC的法向量為，則，，
∵，，∴，∴可取…4分
∵CD⊥平面SAD，∴平面SAD的法向量．      ……………5分
∴，
∴面ASD與面BSC所成二面角的大小為45°．……6分
（Ⅱ）∵，∴，，
又∵，
∴DM⊥SB，        
∴異面直線DM與SB所成角的大小為90°．    ………9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）平面SBC的法向量為，
∵，
∴在上的射影為，
∴點D到平面SBC的距離為．………12分
（特別說明：用傳統解法每問應同步給分）

略