Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1,AB＞1，點E在棱AB上移動，小螞蟻從點A沿長方體的表面爬到點C₁，所爬的最短路程為2．

(1)求證：D₁E⊥A₁D；

(2)求AB的長度；

(3)若EB=時，求二面角D₁-EC-D的大小．

 

Answer 1

解法一：(1)證明：連結AD₁，由長方體的性質可知：

AE⊥平面AD₁，∴AD₁是ED₁在平面AD₁內的射影．

又∵AD=AA₁=1，  ∴AD₁⊥A₁D

∴D₁E⊥A₁D₁（三垂線定理) 

(2)設AB=x，∵四邊形ADD₁A是正方形，

∴小螞蟻從A點且沿長方體的表面爬到點C₁可能有兩種途徑，如圖甲的最短路程為|AC₁|=

如圖乙的最短路程為|AC₁|=

∵x＞1    ∴x²+2x+2＞x²+2+2=x²+4

∴  ∴x=2

(3)過點D在平面ABCD內作DH⊥EC，連結D₁H，則∠D₁HD為二面角D₁-EC-D的平面角，

∵DD₁=1  EB=  在Rt△EBC內，可得EC=2，而EC·DH=DC·AD  解得DH=1．

∴tan∠D₁HD=

解法二：(1)如圖建立空間坐標系

設AE=a，

則E(1，a，0)，D₁(0，0，1)，A₁(1，0，1)，

∴=(1，0，1)，=(1，a，-1)

∴·=1×1+0×a+1×(-1)=0

∴D₁E⊥A₁D

（2）同解法一

（3）假設存在，平面DEC的法向量n₁=（0，0，1）

=(0，2，-1)

設平面D₁EC的法向量n₂=(x，y，z)，則

  即,解得：

∴n₂=（，1，2）（12分）

由題意得：cos＜n₁，n₂＞=

 ∴二面角D₁-EC-D的大小為．