Question

（本小題滿分13分）

如圖1，在等腰梯形中，，，，為上一點， ，且．將梯形沿折成直二面角，如圖2所示．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）設點關于點的對稱點為，點在所在平面內，且直線與平面所成的角為，試求出點到點的最短距離．

 

Answer 1

【答案】

(1)根據題意平幾知識易得 ，同時 ，可知是二面角的平面角，從而得到證明。

(2)

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）在圖1中，由平幾知識易得，

在圖2中，∵，

∴是二面角的平面角，

∵二面角是直二面角，∴.

∵，平面，平面，

又平面，平面平面． 

（Ⅱ）由（Ⅰ）知兩兩互相垂直，

以為原點，分別以為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示．…6分

則，，，，，,

，.

設平面的一個法向量為，

則，即. 取，得.

設，則.

直線與平面所成的角為，

，

即，化簡得，

從而有

，

所以，當時，取得最小值.

即點到點的最短距離為．

考點：直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系

點評：本小題通過對基本知識的考查，培養空間想象能力、推理論證能力及運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想、函數與方程思想及應用意識。