Question

在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，且

a2

b2

=tanAcotB．
（1）證明：sin2A=sin2B；
（2）若a=3，b=4，求|

CA

+

CB

|的值；
（3）若C=60°，△ABC的面積為

3

，求

AB

•

BC

+

BC

•

CA

+

CA

•

AB

的值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理把題設中的等式的邊轉化成角的正弦，化簡整理，利用二倍角公式求得sin2A=sin2B，原式得證．
（2）由（1）中的結論可推斷出A+B=

π

2

，進而利用勾股定理求得c，進而利用向量的運算法則求得|

CA

+

CB

|的值．
（3）由（1）中的結論可推斷出A=B或A+B=

π

2

，進而根據C=

π

3

推斷出△ABC為等邊三角形，進而利用三角形面積公式求得a的值，進而根據平面向量數量積的運算求得答案．

解答：解：（1）證明：由

a2

b2

=tanAcotB
得sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B
（2）解：由上題知sin2A=sin2B及a≠b
得2A+2B=π
∴A+B=

π

2

，c=

a2+b2

=5
∴|

CA

+

CB

|2=|

CA

|2+|

CB

|2+2

CA•

CB

=9+16
∴|

CA

+

CB

|=5
（3）由（1）知A=B或A+B=

π

2

又∵C=

π

3

∴A=B=C=

π

3

即△ABC為等邊三角形
又

3

4

a2=

3

∴a²=4，a=2
∴

AB

•

BC

+

BC

•

CA

+

CA

•

AB

=3×2×2cos

2

3

π=-6

點評：本題主要考查了正弦定理的應用，平面向量的基本運算．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．