Question

（本題13分）已知拋物線的焦點在軸上，拋物線上一點到準線的距離是，過點的直線與拋物線交于，兩點，過，兩點分別作拋物線的切線，這兩條切線的交點為．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）求的值；
（3）求證：是和的等比中項．

Answer 1

（1）
（2）0
（3）證明見解析。

（1）由題意可設拋物線的方程為．
因為點在拋物線上，所以．
又點到拋物線準線的距離是，所以，可得．
所以拋物線的標準方程為．………………………………………………3分
（2）解：點為拋物線的焦點，則．
依題意可知直線不與軸垂直，所以設直線的方程為．
由  得．因為過焦點，所以判別式大于零．
設，．則， ．………………6分
．
由于，所以．
切線的方程為，         ①
切線的方程為．        ②
由①，②，得．…………………………………8分
則．
所以．………………………10分
（3）證明：．
由拋物線的定義知，．
則
．所以．
即是和的等比中項．…………………………………………………13