Question

以下四個關于圓錐曲線的命題中：
①雙曲線與橢圓有相同的焦點；
②在平面內, 設、為兩個定點,為動點,且,其中常數為正實數，則動點的軌跡為橢圓；
③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于兩點，若，則這樣的直線有且僅有3條。
其中真命題的序號為         （寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

①④

試題分析：①在雙曲線中，，所以雙曲線的的焦點坐標為，在橢圓中，，所以橢圓的焦點坐標為，所以它們有相同的焦點，①正確；
②在平面內, 設、為兩個定點,為動點,且,其中常數為正實數，則動點的軌跡為橢圓；錯誤。當，動點P的軌跡是橢圓；當時，動點P的軌跡為線段AB；當時，動點P的軌跡不存在。
③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，錯誤，橢圓的離心率在內，雙曲線的離心率大于1.
④過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于兩點，若，則這樣的直線有且僅有3條。當垂直x軸時，滿足題意；當直線的斜率存在時，設出直線方程可求出另兩條。
點評：（1）注意橢圓中的關系式與雙曲線中的關系式的不同；（2）在平面內，到兩定點的距離和等于常數2a（）的點的軌跡為橢圓，當時，點的軌跡為線段；當時，點的軌跡不存在。