Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n．若

1

2

≤

an+1

an

 ≤2（n∈N^*），則稱{a_n}是“緊密數列”
（1）若數列{a_n}的前n項和S_n=

1

4

（n²+3n）（n∈N^*），證明：{a_n}是“緊密數列”；
（2）設數列{a_n}是公比為q的等比數列，若數列{a_n}與{S_n}都是“緊密數列”，求q的取值范圍．

Answer 1

考點：數列遞推式,等比數列的性質

專題：新定義,等差數列與等比數列

分析：（1）由數列的a_n與S_n的關系式求出a_n，代入

an+1

an

化簡后由n的取值求出

an+1

an

的范圍，根據“緊密數列”的定義即可證明結論；
（2）先設公比是q并判斷出q≠1，由等比數列的通項公式、前n項和公式化簡

an+1

an

和

Sn+1

Sn

，根據“緊密數列”的定義列出不等式組，再求出公比q的取值范圍．

解答： 證明：（1）由S_n=

1

4

（n²+3n）（n∈N^*）得，S_n-1=

1

4

[（n-1）²+3（n-1）]（n≥2），
兩式相減得，a_n=

1

4

（n²+3n-n²+2n-1-3n+3）=

1

4

（2n+2）=

1

2

（n+1），
當n=1時，a₁=S₁=

1

4

（1+3）=1，也適合上式，
所以a_n=

1

2

（n+1），
則

an+1

an

=

n+2

n+1

=1+

1

n+1

＞1，所以

an+1

an

≥

1

2

顯然成立，
因為

an+1

an

=1+

1

n+1

隨著n的增大而減小，所以當n=1時

an+1

an

取到最大值，
則

an+1

an

≤1+

1

2

=

3

2

＜2，則

an+1

an

≤2成立，
所以數列{a_n}是“緊密數列”；
解：（2）由題意得，等比數列{a_n}的公比q
當q≠1時，所以an=a1qn-1，Sn=

a1(1-qn)

1-q

，
則

an+1

an

=

a1qn

a1qn-1

=q，

Sn+1

Sn

=

a1(1-qn+1) 1-q

a1(1-qn) 1-q

=

1-qn+1

1-qn

，
因為數列{a_n}與{S_n}都是“緊密數列”，
所以

1 2 ≤q≤2 1 2 ≤ 1-qn+1 1-qn ≤2

，解得

1

2

≤q＜1，
當q=1時，a_n=a₁，S_n=na₁，
則

an+1

an

=1，

Sn+1

Sn

=

n+1

n

=1+

1

n

，則1＜

Sn+1

Sn

≤

3

2

，
滿足“緊密數列”的條件，
故q的取值范圍是[

1

2

，1]

點評：本題是新定義題，考查數列的a_n與S_n的關系式，等比數列的通項公式、前n項和公式，解題的關鍵是正確理解新定義并會應用．