Question

已知f(x)=sin(x+

π

6

)-tanα•cosx，且f(

π

3

)=

1

2

．
（1）求tanα的值；
（2）當x∈[

π

2

，π]時，求函數f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）直接利用f(

π

3

)=

1

2

求出tanα的值．
（2）利用（1）的結果，化簡函數的表達式為一個角的一個三角函數的形式，根據x的范圍，求出函數的最小值．

解答：解：（1）f(

π

3

)=

1

2

所以sin(

π

3

+

π

6

)-tanα•cos

π

3

=

1

2

，

1

2

tanα=

1

2

所以tanα=1；
（2）由（1）得：f(x)=sin(x+

π

6

)-cosx=

3

2

sinx-

1

2

cosx=sin（x-

π

6

），
因為x∈[

π

2

，π]所以x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，sin（x-

π

6

）∈[

1

2

，1]；
當x∈[

π

2

，π]時，函數f（x）的最小值為：

1

2

．

點評：本題是基礎題，考查三角函數的化簡求值，三角函數的最值的求法，考查計算能力，常考題型．