Question

【題目】如圖，在四棱錐PABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，∠ABC＝45°，AD＝AP＝2，AB＝DP＝，E為CD的中點，點F在線段PB上.試確定點F的位置，使得直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等.

Answer 1

【答案】當時，直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等

【解析】

由已知可證PA⊥底面ABCD，由余弦定理求出，進而有，以A為坐標原點，以DA，AC，AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Axyz，求出坐標，設＝λ（λ∈[0，1]），求出平面PDC的法向量坐標，而平面ABCD的一個法向量為＝（0，0，1），按照空間向量的線面角公式，即可求解.

∵側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD∩底面ABCD＝AD，

PA⊥AD，PA平面PAD，∴PA⊥底面ABCD. 以A為坐標原點，

在中，，

以DA，AC，AP所在直線為x軸，y軸，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，

則A（0，0，0），D（－2，0，0），C（0，2，0），

B（2，2，0），E（－1，1，0），P（0，0，2），

∴＝（0，2，－2），＝（－2，0，－2），

＝（2，2，－2）.設＝λ（λ∈[0，1]），

則＝（2λ，2λ，－2λ），F（2λ，2λ，－2λ＋2），

∴＝（2λ＋1，2λ－1，－2λ＋2），

平面ABCD的一個法向量為＝（0，0，1）.

設平面PDC的法向量為＝（x，y，z），

則∴，令x＝1，得＝（1，－1，－1）.

∵直線EF與平面PDC所成的角和此直線與平面ABCD所成的角相等，

，

即，∴2－2λ＝，解得，

∴當時，直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等.