Question

【題目】已知圓 ： 上的點 關于點 的對稱點為 ，記 的軌跡為 .

（1）求 的軌跡方程；

（2）設過點 的直線 與 交于 ， 兩點，試問：是否存在直線 ，使以 為直徑的圓經過原點？若存在，求出直線 的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2） ： 和 ： .

【解析】試題分析：

(1)設的坐標為， 的坐標為，利用中點坐標公式可得，則的軌跡方程為.

(2)設， ，由題意， 的斜率均存在，則，

分類討論：當直線的斜率不存在時，滿足，

當直線的斜率存在時，聯立直線方程與圓的方程有，結合韋達定理計算可得，則存在滿足條件的直線： 和： .

試題解析：

（1）設 的坐標為 ， 的坐標為

則由中點坐標公式，得 ∴

將代入，得

即 的軌跡方程為 .

（2）設，

由題意，知 ,顯然 ， 的斜率均存在，∴

∴，即

當直線的斜率不存在時，可得直線 的方程為，

則 ， ，滿足，

∴直線 ： ，滿足條件.

當直線 的斜率存在時，可設直線 的方程為 ，代入

得 ，則 ，

由，得 ，即 ，

∴ ，解得 ，∴直線的方程為 .

綜上可知，存在滿足條件的直線 ： 和 ： .