Question

【題目】如圖在三棱柱中，為邊的中點，.

（1）證明：平面；

（2）若，為中點且，，，求平面與平面所成二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）利用三角形中位線的性質得出，利用線面平行的判定定理可證得平面；

（2）證明出平面，由此可得出、、兩兩垂直，然后以點為坐標原點，、、分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得平面與平面所成二面角的余弦值.

（1）在三棱柱中，側面為平行四邊形，

由，可知為的中點，又因為為邊的中點，所以，

平面，平面，所以平面；

（2）因為，，，所以，所以，

取中點，則，，

因為，，所以，

又，所以滿足，，

，所以平面，即、、兩兩相互垂直，

以點為坐標原點，、、分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖示），

所以、、、，，

所以，，

設平面的法向量為，

則有，即，取，則，，所以，

因為平面，所以平面的法向量可以取為，

，

所以平面與平面所成的二面角的余弦值為.