Question

【題目】已知橢圓的頂點到左焦點的距離為，離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）若點為橢圓的右頂點,過點作互相垂直的兩條射線,與橢圓分別交于不同的兩點不與左、右頂點重合) ，試判斷直線是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過定點.

【解析】

試題分析：（1）根據題意列出的方程組結合，求出的值；（2）當直線的斜率不存在時，求出兩點坐標，可得其與的交點，當當直線的斜率存在時，設直線的方程為，整理方程組可得兩點坐標的關系，根據及橢圓的右頂點，由向量的數量積坐標表示出的關系，代入直線方程即可求得直線經過的定點.

試題解析：（1）由題意可知:， 解得：，故橢圓的標準方程為.

（2）設當直線的斜率不存在時，軸,為等腰直角三角形，

,又,又不與左、右頂點重合，解得，此時，直線過點.

當直線的斜率存在時，設直線的方程為,由方程組,得,整理得,則.由已知，且橢圓的右頂點為，所以，，即，整理得，解得或均滿足成立.當時，直線的方程過頂點，與題意矛盾舍去.當時，直線的方程過定點，故直線過定點，且定點是.