Question

(本題滿分12分)
如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，BAD＝90°，PA底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC＝2，M、N分別為PC、PB的中點．

(Ⅰ)求證：PB平面ADMN；
(Ⅱ)求四棱錐P-ADMN的體積．

Answer 1

（I）利用線面垂直得AD^平面PAB，
∴AD^PB．根據等腰三角形得AN^PB．推出PB^平面ADMN．
（II）V＝S×PN＝．

試題分析：（I）∵PA^底面ABCD，ÐBAD＝90°，AB∩AD＝D，∴AD^平面PAB，
又PBÌ平面PAB，∴AD^PB．……3分
∵PA＝AB，∴DPAB為等腰直角三角形，N為PB的中點，∴AN^PB．
∵AN∩AD＝D，∴PB^平面ADMN．……6分
（II）由（Ⅰ）PB^平面ADMN，
∴PN為四棱錐P-ADMN的高，且PN＝PB＝．……8分
四邊形ADMN為直角梯形，且MNBC，∴MN＝，AN＝，
∴四邊形ADMN的面積為S＝ (2+)×＝，……11分
∴四棱錐P-ADMN的體積V＝S×PN＝． ……12分
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟。本題通過空間直角坐標系，利用向量知識可簡化證明過程。把證明問題轉化成向量的坐標運算，這種方法帶有方向性。