Question

【題目】已知函數.

（1）若，求函數 的極值；

（2）若在內為單調增函數，求實數的取值范圍；

（3）對于，求證： .

Answer 1

【答案】（1）極小值為，無極大值.（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）將代入，對函數求導，由單調性可判斷函數的極值；（2）將函數 在內為單調增函數，則在上恒成立，進一步轉化為一元二次不等式恒成立問題，可求的取值范圍；（3）由函數單調性，當時， ，即．令，變形后可證不等式．

試題解析：（1），

（1）若， ，令得或（舍去），

令，所以函數的極小值為，無極大值.

（2）在上單調遞增， 在上恒成立，

即在上恒成立，

令，

當時，即時， ，所以，

當時，即時， ，所以，

綜上.

（3）當時，由（2）知， 在上單調遞增，

即時， ，即，

所以，因為，所以，

所以.