Question

【題目】如圖，已知四棱錐，底面為菱形，，,平面，分別是的中點。

（1）證明：；

（2）若為上的動點，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值。

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）

【解析】

（1）證明，利用平面即可證得，問題得證。

（2）過點作于點，過點作于點，連接.當與垂直時，與平面所成最大角，利用該最大角的正切值為即可求得，證明就是二面角的一個平面角，解即可。

（1）因為底面為菱形，

所以為等邊三角形，又為中點

所以，又

所以

因為平面，平面

所以，又

所以平面

（2）過點作于點，過點作于點，連接

當與垂直時，與平面所成最大角.

由（1）得，此時.所以就是與平面所成的角.

在中，由題意可得：,又

所以.

設，在中由等面積法得：

解得：，所以

因為平面，平面

所以平面平面，

又平面平面，，平面

所以平面，又平面

所以，又，

所以平面，

所以

所以就是二面角的一個平面角

因為為的中點，且

所以，又

所以

在中，求得：,,

由可得：,即：，解得：

所以

所以

所以二面角的余弦值為