Question

【題目】已知函數f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然對數的底數．（13分）
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（π，f（π））處的切線方程；
（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），討論h（x）的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．
∴曲線y=f（x）在點（π，f（π））處的切線方程為：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．
化為：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．
（Ⅱ）h（x）=g （x）﹣a f（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）
h′（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）+ex（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）
=2（x﹣sinx）（ex﹣a）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）．
令u（x）=x﹣sinx，則u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函數u（x）在R上單調遞增．
∵u（0）=0，∴x＞0時，u（x）＞0；x＜0時，u（x）＜0．
（i）a≤0時，ex﹣a＞0，∴x＞0時，h′（x）＞0，函數h（x）在（0，+∞）單調遞增；
x＜0時，h′（x）＜0，函數h（x）在（﹣∞，0）單調遞減．
∴x=0時，函數h（x）取得極小值，h（0）=﹣1﹣2a．
（ii）a＞0時，令h′（x）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）=0．
解得x1=lna，x2=0．
①0＜a＜1時，x∈（﹣∞，lna）時，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函數h（x）單調遞增；
x∈（lna，0）時，ex﹣elna＞0，h′（x）＜0，函數h（x）單調遞減；
x∈（0，+∞）時，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函數h（x）單調遞增．
∴當x=0時，函數h（x）取得極小值，h（0）=﹣2a﹣1．
當x=lna時，函數h（x）取得極大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．
②當a=1時，lna=0，x∈R時，h′（x）≥0，∴函數h（x）在R上單調遞增．
③1＜a時，lna＞0，x∈（﹣∞，0）時，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函數h（x）單調遞增；
x∈（0，lna）時，ex﹣elna＜0，h′（x）＜0，函數h（x）單調遞減；
x∈（lna，+∞）時，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函數h（x）單調遞增．
∴當x=0時，函數h（x）取得極大值，h（0）=﹣2a﹣1．
當x=lna時，函數h（x）取得極小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．
綜上所述：a≤0時，函數h（x）在（0，+∞）單調遞增；x＜0時，函數h（x）在（﹣∞，0）單調遞減．
x=0時，函數h（x）取得極小值，h（0）=﹣1﹣2a．
0＜a＜1時，函數h（x）在x∈（﹣∞，lna）是單調遞增；函數h（x）在x∈（lna，0）上單調遞減．當x=0時，函數h（x）取得極小值，h（0）=﹣2a﹣1．當x=lna時，函數h（x）取得極大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．
當a=1時，lna=0，函數h（x）在R上單調遞增．
a＞1時，函數h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上單調遞增；函數h（x）在（0，lna）上單調遞減．當x=0時，函數h（x）取得極大值，h（0）=﹣2a﹣1．當x=lna時，函數h（x）取得極小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．
【解析】（Ⅰ）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，可得f′（π）=2π即為切線的斜率，利用點斜式即可得出切線方程．
（Ⅱ）h（x）=g （x）﹣a f（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx），可得h′（x）=2（x﹣sinx）（ex﹣a）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）．令u（x）=x﹣sinx，則u′（x）=1﹣cosx≥0，可得函數u（x）在R上單調遞增．
由u（0）=0，可得x＞0時，u（x）＞0；x＜0時，u（x）＜0．
對a分類討論：a≤0時，0＜a＜1時，當a=1時，a＞1時，利用導數研究函數的單調性極值即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解導數的加減法法則的相關知識，掌握導數加減法法則：，以及對導數的乘除法法則的理解，了解導數的乘除法法則：；．