Question

已知中心在原點，焦點在坐標軸上的橢圓Ω，它的離心率為，一個焦點和拋物線y²=-4x的焦點重合，過直線l：x=4上一點M引橢圓Ω的兩條切線，切點分別是A，B．
（Ⅰ）求橢圓Ω的方程；
（Ⅱ）若在橢圓上的點（x，y）處的橢圓的切線方程是．求證：直線AB恒過定點C；并出求定點C的坐標．
（Ⅲ）是否存在實數λ，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|恒成立？（點C為直線AB恒過的定點）若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設橢圓方程為，根據它的一個焦點和拋物線y²=-4x的焦點重合，從而求出c值，再求出a和b的值，從而求解；
（Ⅱ）切點坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l上一點M的坐標（4，t），求出切線方程，再把點M代入切線方程，說明點A，B的坐標都適合方程，而兩點之間確定唯一的一條直線，從而求出定點；
（Ⅲ）聯立直線方程和橢圓的方程進行聯立，求出兩根的積和兩根的和，求出|AC|，|BC|的長，求出λ的值看在不在，再進行判斷；
解答：解：（I）設橢圓方程為．
拋物線y²=-4x的焦點是（-1，0），故c=1，又，
所以，
所以所求的橢圓Ω方程為…（4分）
（II）設切點坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線l上一點M的坐標（4，t）．
則切線方程分別為，．
又兩切線均過點M，
即，
即點A，B的坐標都適合方程，而兩點之間確定唯一的一條直線，
故直線AB的方程是，顯然對任意實數t，點（1，0）都適合這個方程，
故直線AB恒過定點C（1，0）．           …（9分）
（III）將直線AB的方程，代入橢圓方程，
得，即
所以
不妨設y₁＞0，y₂＜0，
同理…（12分）
所以=
即．
故存在實數，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|．   …（15分）
點評：此題主要考查利用導數研究函數的切線方程，第三問是一個存在性問題，利用了根與系數的關系，需要聯立方程，考查了學生的計算能力，是一道難題；