Question

【題目】已知函數(shù)，且存在，使得，設(shè)，，，．

（Ⅰ）證明單調(diào)遞增；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）記，其前項(xiàng)和為，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）首先求出，然后通過證明恒成立即可；

（Ⅱ）利用數(shù)學(xué)歸納法，即首先驗(yàn)證時不等式是否成立，然后假設(shè)當(dāng)時不等式成立，再通過驗(yàn)證時不等式是否成立使問題得證；

（Ⅲ）利用（Ⅱ）的結(jié)論，先放縮再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可證明．

（Ⅰ）由函數(shù)，則，

所以是上的單調(diào)遞增函數(shù)．

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，即．

又因?yàn)?/span>是單調(diào)遞增函數(shù)，可得，即．

又由，，

綜上可得．

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

①當(dāng)時，上面已證明成立．

②假設(shè)當(dāng)時，有，

則當(dāng)時，由是單調(diào)遞增函數(shù)，可得，

所以，

由①②知對一切都有．

（Ⅲ）因?yàn)?/span>．

由（Ⅱ）知，，則，，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，

所以．

綜上可得．