Question

【題目】某地有種特產水果很受當地老百姓歡迎，但該種水果只能在9月份銷售，且該種水果只能當天食用口感最好，隔天食用口感較差。某超市每年9月份都銷售該特產水果，每天計劃進貨量相同，進貨成本每公斤8元，銷售價每公斤12元；當天未賣出的水果則轉賣給水果罐頭廠，但每公斤只能賣到5元。根據往年銷售經驗，每天需求量與當地氣溫范圍有一定關系。如果氣溫不低于30度，需求量為5000公斤；如果氣溫位于，需求量為3500公斤；如果氣溫低于25度，需求量為2000公斤；為了制定今年9月份訂購計劃，統計了前三年9月份的氣溫范圍數據，得下面的頻數分布表

氣溫范圍
天數	4	14	36	21	15

以氣溫范圍位于各區間的頻率代替氣溫范圍位于該區間的概率．

（1）求今年9月份這種水果一天需求量（單位：公斤）的分布列和數學期望；

（2）設9月份一天銷售特產水果的利潤為（單位：元），當9月份這種水果一天的進貨量為（單位：公斤）為多少時，的數學期望達到最大值，最大值為多少？

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）時，的數學期望達到最大值，最大值為11900

【解析】

（1）根據題意可知9月份這種水果一天的需求量的可能取值為2000、3500、5000公斤，分別求出相應的概率，由此能求出的分布列和數學期望；

（2）結合（1）的分布列，分別討論當和時，利潤的數學期望，即可求出期望的最大值以及期望最大時的值。

解析：（1）今年9月份這種水果一天的需求量的可能取值為2000、3500、5000公斤，

，，

于是的分布列為：

	2000	3500	5000
	0.2	0.4	0.4

的數學期望為：．

（2）由題意知，這種水果一天的需求量至多為5000公斤，至少為2000公斤，因此只需要考慮，

當時，

若氣溫不低于30度，則；

若氣溫位于[25,30)，則；

若氣溫低于25度，則；

此時

當時，

若氣溫不低于25度，則；

若氣溫低于25度，則；

此時；

所以時，的數學期望達到最大值，最大值為11900．