Question

【題目】一種擲骰子走跳棋的游戲：棋盤上標有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，設棋子跳到第n站的概率為，一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次骰子，棋子向前跳動一次．若擲出奇數點，棋子向前跳一站；若擲出偶數點，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站(獲勝)或第100站(失敗)時，游戲結束(骰子是用一種均勻材料做成的立方體形狀的游戲玩具，它的六個面分別標有點數1，2，3，4，5，6)．

(1)求，，，并根據棋子跳到第n站的情況，試用和表示；

(2)求證：為等比數列；

(3)求玩該游戲獲勝的概率．

Answer 1

【答案】（1），，，；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

(1) 在第0站是必然事件，所以．棋子跳到第1站，只有一種情形，第一次擲骰子出現奇數點,可求出，棋子跳到第2站，包括兩種情形，①第一次擲骰子岀現偶數點，②前兩次擲骰子出現奇數點，可求出.棋子跳到第站，包括兩種情形，①棋子先跳到第站，又擲骰子出現偶數點, ②棋子先跳到第站，又擲骰子出現奇數點,進行求解.
(2) 由(1)知，，所以可證.
(3) 該游戲獲勝的概率,即求，由（2）用累加法可求解.

(1)棋子開始在第0站是必然事件，所以．

棋子跳到第1站，只有一種情形，第一次擲骰子出現奇數點，其概率為，所以．

棋子跳到第2站，包括兩種情形，①第一次擲骰子岀現偶數點，其概率為；②前兩次擲骰子出現奇數點，其概率為，所以．

棋子跳到第站，包括兩種情形，①棋子先跳到第站，又擲骰子出現偶數點，其概率為；②棋子先跳到第站，又擲骰子出現奇數點，其概率為．

故．

(2)由(1)知，，所以．

又因為，

所以是首項為，公比為的等比數列．

(3)由(2)知，．

所以

．

所以玩該游戲獲勝的概率為．