【題目】已知點P(2，2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點．
(1)求M的軌跡方程；
(2)當|OP|＝|OM|時，求l的方程及△POM的面積．
【答案】見解析
【解析】
解：(1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，
所以圓心為C(0，4)，半徑為4.
設M(x，y)，則
＝(x，y－4)，
＝(2－x，2－y)．
由題設知·＝0，
故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于點P在圓C的內部，
所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的軌跡是以點N(1，3)為圓心，
為半徑的圓．
由于|OP|＝|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ON⊥PM.
因為ON的斜率為3，所以l的斜率為－
，
故l的方程為y＝－x＋
.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距離d為
，
所以|PM|＝2
＝，
所以△POM的面積為S△POM＝
|PM|d＝
.
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【題目】已知函數
， 
.
（1）求函數
在
的最小值；
（2）若函數
與
的圖象恰有一個公共點，求實數
的值；
（3）若函數
有兩個不同的極值點
，且
，求實數
的取值范圍.
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【題目】在多面體ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四邊形ADEF是正方形，AB∥DC，AB＝AD＝1，CD＝2，AC＝EC＝
。
(1)求證：平面EBC⊥平面EBD；
(2)設M為線段EC上一點，且3EM＝EC，試問在線段BC上是否存在一點T，使得MT∥平面BDE，若存在，試指出點T的位置；若不存在，請說明理由．
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【題目】過曲線C1：
－
＝1(a＞0，b＞0)的左焦點F1作曲線C2：x2＋y2＝a2的切線，設切點為M，直線F1M交曲線C3：y2＝2px(p＞0)于點N，其中曲線C1與C3有一個共同的焦點，若|MF1|＝|MN|，則曲線C1的離心率為( )
A. 
B. －1 C. ＋1 D. 
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【題目】如圖，已知拋物線C：y2＝4x，過點A(1，2)作拋物線C的弦AP，AQ.
(1)若AP⊥AQ，證明：直線PQ過定點，并求出定點的坐標；
(2)假設直線PQ過點T(5，－2)，請問是否存在以PQ為底邊的等腰三角形APQ？若存在，求出△APQ的個數，若不存在，請說明理由．
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【題目】已知函數f(x)＝aln x＋
(a∈R)．
(1)當a＝1時，求f(x)在x∈[1，＋∞)內的最小值；
(2)若f(x)存在單調遞減區間，求a的取值范圍；
(3)求證ln(n＋1)> 
＋
＋
＋…＋
(n∈N*)．
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【題目】某市出租車的現行計價標準是：路程在2 km以內(含2 km)按起步價8元收取，超過2 km后的路程按1.9 元/km收取，但超過10 km后的路程需加收50%的返空費(即單價為1.9×(1＋50%)＝2.85(元/km))．
（1）將某乘客搭乘一次出租車的費用f(x)(單位：元)表示為行程x(0<x≤60，單位：km)的分段函數；
（2）某乘客的行程為16 km，他準備先乘一輛出租車行駛8 km后，再換乘另一輛出租車完成余下行程，請問：他這樣做是否比只乘一輛出租車完成全部行程更省錢？
(現實中要計等待時間且最終付費取整數，本題在計算時都不予考慮)
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