Question

已知f(x)=

4×2x+2

2x+1

+ln(x+

1+x2

)，若f（x）在[-2，2]上的最大值，最小值分別為M，N，則M+N=

6

．

Answer 1

分析：要求f（x）的最大值與最小值之和，可分解為求

4×2x+2

2x+1

的最大值與最小值之和ln(x+

1+x2

)的最大值與最小值之和，利用它們的單調(diào)性，求解即可．

解答：解：∵f(x)=

4×2x+2

2x+1

+ln(x+

1+x2

)，x∈[-2，2]
∴設(shè)g（x）=

4×2x+2

2x+1

，
則g（x）=

4×2x+4-2

2x+1

=4-

2

2x+1

，
∵2^x是R上的增函數(shù)，∴g（x）也是R上的增函數(shù)．
∴函數(shù)g（x）在[-2，2]上的最大值是g（2），最小值是g（-2）．
∵函數(shù)y=ln(x+

1+x2

)是奇函數(shù)，它在[-2，2]上的最大值與最小值互為相反數(shù)，最大值與最小值的和為0．
∴函數(shù)f（x）的最大值M與最小值N之和M+N=g（2）+g（-2）
=4-

2

4+1

+4-

2

1 4 +1

=8-2
=6．
故答案為：6．

點評：本題通過求函數(shù)的最值問題，綜合考查了有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的單調(diào)性，難度比較大．