Question

【題目】已知圓的圓心在坐標原點，且與直線相切．

（1）求直線被圓所截得的弦的長；

（2）過點作兩條與圓相切的直線，切點分別為求直線的方程；

（3）若與直線垂直的直線與圓交于不同的兩點，若為鈍角，求直線 在軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）;（2）;（3），且.

【解析】【試題分析】（1）依據題設先求圓的半徑和方程，再運用弦心距、半弦長、半徑之間的關系進行分析求解；（2）依據題設條件構造圓以的方程，再運用兩圓的相交弦所在直線即為所求；（3）依據題設條件借助題設條件“為鈍角”建立不等式分析探求：

（1）由題意得：圓心到直線的距離為圓的半徑，

，所以圓的標準方程為：

所以圓心到直線的距離

（2）因為點,所以,

所以以點為圓心，線段長為半徑的圓方程： （1）

又圓方程為： （2），由得直線方程：

（3）設直線的方程為： 聯立得： ，

設直線與圓的交點，

由，得， （3）

因為為鈍角，所以,

即滿足，且與不是反向共線，

又，所以 （4）

由（3）（4）得，滿足，即，

當與反向共線時，直線過原點，此時，不滿足題意，

故直線在軸上的截距的取值范圍是，且