Question

（本題滿分14分）數列{a_n}滿足：a₁=, 前n項和S_n=,
（1）寫出a₂, a₃, a₄；（2）猜出a_n的表達式，并用數學歸納法證明.

Answer 1

（1）a₂=；a₃=；a₄=
（2）a_n=

(1)根據a_n與S_n的關系，分別令n=2,3,4易求a₂, a₃, a₄；
(2)根據前四項，可以猜想出a_n的表達式，由于問題是與正整數n有關，因而可以考慮采用數學歸納法進行證明.在用數學歸納法進行證明時，分兩個步驟：一是驗證n=1，等式成立；
二是先假設n=k時，等式成立；然后再證明n=k+1時，等式也成立，再證明時一定要用上n=k時的歸納假設，否則證明無效.
解：（1）令n="2," 得S₂=, 即a₁+a₂=3a₂ , 解得a₂=.    ……………1分
令n="3," 得S₃=，即a₁+a₂+a₃=6a₃, 解得a₃=.      ……………1分
令n=4，得S₄=，即a₁+a₂+a₃+a₄=10a₄, 解得a₄=.  ……………1分
（2）由（1）的結果猜想a_n=, 下面用數學歸納法給予證明：……………1分
①當n=1時，a₁=，結論成立.                       ……………1分
②假設當n=k時，結論成立，即a_k=，                   ……………1分
則當n=k+1時，S_k=，       （1）                      ……………1分
S_k+1=,               （2）                      ……………1分
（2）-（1）得a_k+1=-,                    ……………2分
整理得a_k+1===，3分
即當n=k+1時結論也成立.
由①、②知對于n∈N₊，上述結論都成立.                            ……………1分