Question

已知橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，右焦點為（2

2

，0）．斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P（-3，2）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面積．

Answer 1

（Ⅰ）∵橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，右焦點為（2

2

，0），
∴

c a = 6 3 c=2 2

，解得a=2

3

，
∴b=

12-8

=2，
∴橢圓G的方程為

x2

12

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）設l：y=x+b，
代入

x2

12

+

y2

4

=1，得4x²+6bx+3b²-12=0，
根據韋達定理xA+xB=-

3b

2

，xA•xB=

3b2-12

4

，
∴y_A+y_B=

b

2

，
設M為AB的中點，則M（-

3b

4

，

b

4

），AB的中垂線的斜率k=-1，
∴AB的中垂線：x+y+

b

2

=0，將P（-3，2）代入，得b=2，
∴l：x-y+2=0，根據弦長公式可得AB=3

2

，d=

3

2

，
∴S_△PAB=

1

2

×3

2

×

3

2

=

9

2

．