Question

已知拋物線L的方程為x²=2py（p＞0），直線y=x截拋物線L所得弦．
（1）求p的值；
（2）拋物線L上是否存在異于點A、B的點C，使得經過A、B、C三點的圓和拋物線L在點C處有相同的切線．若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由 解得A（0，0），B（2p，2p）
∴ ，
∴p=2
（2）由（1）得x²=4y，A（0，0），B（4，4）
假設拋物線L上存在異于點A、B的點C ，
使得經過A、B、C三點的圓和拋物線L在點C處有相同的切線令圓的圓心為N（a，b），
則由 
得 
得  
∵拋物線L在點C處的切線斜率 
又該切線與NC垂直，
∴  ∴ 
∵t≠0，t≠4，
∴t=﹣2 故存在點C且坐標為（﹣2，1）．