Question

已知函數f(x)=log

1

3

x，
（1）當x∈[

1

3

，3]時，求f（x）的反函數g（x）；
（2）求關于x的函數y=[g（x）]²-2ag（x）+3（a≤3）當x∈[-1.1]時的最小值h（a）；
（3）我們把同時滿足下列兩個性質的函數稱為“和諧函數”：
①函數在整個定義域上是單調增函數或單調減函數；
②在函數的定義域內存在區間[p，q]（p＜q）使得函數在區間[p，q]上的值域為[p²，q²]．
（Ⅰ）判斷（2）中h（x）是否為“和諧函數”？若是，求出p，q的值或關系式；若不是，請說明理由；
（Ⅱ）若關于x的函數y=

x2-1

+t（x≥1）是“和諧函數”，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將f（x）看成關于x的方程，求出x，將x，y互換得到g（x）．
（2）通過換元，將函數轉化為關于t的二次函數，求出對稱軸，通過對對稱軸與區間位置關系的討論，求出最小值g（a）．
（3）據和諧函數的定義，列出方程組，求出p，q滿足的條件．

解答：解：（1）由y=log

1

3

x得x=(

1

3

)y
∴f-1(x)=(

1

3

)x(-1≤x≤1)
 （2）令t=f^-1（x），x∈[-1，1]．由（1）知t∈[

1

3

，3]．
∴函數y=[f^-1（x）]²-2a[f^-1（x）]+3=t²-2at+3   (

1

3

≤t≤3)
對稱軸x=a（a≤3）
①a≤

1

3

時，ymin=(

1

3

)2-

2a

3

+3=

28

9

-

2a

3

②

1

3

＜a≤3，y_min=a²-2a²+3=3-a²．
∴g(a)=

28 9 -  2a 3 (a≤ 1 3 ) 3-a2( 1 3 ＜a≤3)

．
   （3）對（2）中g(a)=

28 9 - 2a 3 (a≤ 1 3 ) 3-a2( 1 3 ＜a≤3)

，
易知g（x）在（-∞，3]上單減．
（3）（I）若g（x）為“和諧函數”，則g（x）在（-∞，3]上存在區間[p，q]（p＜q），使得g（x）在區間[p，q]
上的值域為[p²，q²]．
①若p＜q≤

1

3

，g（x）遞減，
 

28 9 - 2p 3 = q2 28 9 - 2q 3 =p2

得p+q=

2

3

，
這與p＜q≤

1

3

矛盾．
②

1

3

≤p＜q≤3時

3-p2=q2 3-q2=p2

恒成立

此時p、q、滿足

p2+q2=3 1 3 ≤p＜q≤3

，這樣的p，q存在．
③p＜

1

3

，

1

3

＜q≤3時，解得p=

1

3

矛盾                     
∴（2）中g（x）是“和諧函數”，p、q滿足

p2+q2=3 1 3 ≤p＜q≤3

（II）∵y=

x2-1

+t在[1，+∞）遞增，有和諧函數的定義知，該函數在定義域[1，+∞）內，存在區間[p，q]（p＜q），使得該函數在區間[p，q]上的值域為[p²，q²]

點評：本題考查新定義題，關鍵是理解透題中的新定義，此題型是近幾年高考常考題型．求分段函數的函數值關鍵是判斷出自變量所屬的范圍．