Question

設數列{a_n}的首項a1=a≠

1

4

，且an+1=

1 2 an (n為偶數) an+ 1 4 (n為奇數)

，n∈N^*，記bn=a2n-1-

1

4

，cn=

sinn

|sinn|

bn，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃；
（2）判斷數列{b_n}是否為等比數列，并證明你的結論；
（3）當a＞

1

4

時，數列{c_n}前n項和為S_n，求S_n最值．

Answer 1

分析：（I）由且an+1=

1 2 an (n為偶數) an+ 1 4 (n為奇數)

，n∈N^*，求解可得a₂=a+

1

4

，a₃=

1

2

（a+

1

4

）．
（II）由記bn=a2n-1-

1

4

，可推知b_n=a_2n-1-

1

4

=

1

2

（a_2n-3+

1

4

）-

1

4

=

1

2

（a_2n-3-

1

4

）=

1

2

b_n-1，又因為b₁=a₁-

1

4

=a-

1

4

≠0由等比數列的定義可知數列{b_n}為等比數列．
（III）當a＞

1

4

時，{b_n}為正項等比數列，可由b_n+1+b_n+2+b_n+…+b_n+m=bn+1

1-( 1 2 )m

1- 1 2

＜2b_n+1=b_n，當n≥4時，s_n-s₃=-b₄-b₅+…+

sinn

|sinn|

bn，從而有s_n-s₃＜b2-b3-b4-…-bn＜0同理，可得s_n-s₁=b₂+b₃-b₄-b₅+…+

sinn

|sinn|

bn＞0，可推知：當n≥4，s₁＜s_n＜s₃，s₁＜s₂＜s₃從而得到結論．

解答：解：（I）a₂=a+

1

4

，a₃=

1

2

（a+

1

4

）
（II）∵b_n=a_2n-1-

1

4

=

1

2

（a_2n-3+

1

4

）-

1

4

=

1

2

（a_2n-3-

1

4

）=

1

2

b_n-1
∵b₁=a₁-

1

4

=a-

1

4

≠0
∴{bn}\為

1

2

的等比數列
（III）當a＞

1

4

時，
∵{b_n}為正項等比數列，
∴b_n+1+b_n+2+b_n+…+b_n+m=bn+1

1-( 1 2 )m

1- 1 2

＜2b_n+1=b_n
當n≥4時，s_n-s₃=-b₄-b₅+…+

sinn

|sinn|

bn＜b2-b3-b4-…-bn＜0
s_n-s₁=b₂+b₃-b₄-b₅+…+

sinn

|sinn|

bn＞b2-b3-b4-…-bn＞0
當n≥4，s₁＜s_n＜s₃，s₁＜s₂＜s₃
故s_n的最大值為s₃=

7

4

（a+

1

4

），最小值為s₁=a+

1

4

點評：本題主要考查數列的定義，通項及前n項和，還考查了數列的構造及前n項和的最值問題．難度較大．