Question

設數列{a_n}的首項a1=

5

4

，且a_n+1=

1 2 an，n為偶數 an+ 1 4 ，n為奇數

，記b_n=a_2n-1-

1

4

，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若設數列{c_n}的前n項和為S_n，c_n=nb_n，求S_n．

Answer 1

分析：（I）由已知只要證明

bn+1

bn

為常數，即可證數列{b_n}是等比數列，可求b_n，
（II）由（I）可得cn=nbn=n•

1

2n-1

，結合數列的特點，考慮利用錯位相減求解數列的和

解答：解（Ⅰ）∵bn+1=a2n+1-

1

4

=

1

2

a2n-

1

4

=

1

2

(a2n-1+

1

4

)-

1

4

=

1

2

(a2n-1-

1

4

)=

1

2

bn，(n∈N*)
所以{b_n}是首項為a1-

1

4

=1，公比為

1

2

的等比數列
∴bn=

1

2n-1

（Ⅱ）∵cn=nbn=n•

1

2n-1

∴Sn=1+2×

1

2

+3×

1

22

+…+(n-1)×

1

2n-2

+n×

1

2n-1

①
∴

1

2

Sn=

1

2

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+(n-1)×

1

2n-1

+n×

1

2n

②
①-②得

1

2

Sn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

故Sn=2[

1-( 1 2 )n

1- 1 2

]-

n

2n-1

=4-

1

2n-2

-

n

2n-1

點評：本題主要考查了數列的遞推公式在數列的通項公式求解中的應用，等比數列的通項公式的應用，及數列求和的錯位相減求和方法的應用，屬于數列知識的綜合性的應用．