Question

（2012•佛山一模）如圖，三棱錐P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E為PC的中點，點F在PA上，且2PF=FA．
（1）求證：平面PAC平面BEF；
（2）求平面ABC與平面BEF所成的二面角的平面角（銳角）的余弦值．

Answer 1

分析：（1）證明AC⊥平面PBC，可得AC⊥BE，又BE⊥PC，可得BE⊥平面PAC，從而可得平面PAC⊥平面BEF；
（2）取AF的中點G，AB的中點M，連接CG，CM，GM，證明平面CMG∥平面BEF，則平面CMG與平面平面BEF所成的二面角的平面角（銳角）就等于平面ABC與平面BEF所成的二面角的平面角（銳角）．

解答：（1）證明：∵PB⊥底面ABC，且AC?底面ABC，∴AC⊥PB，
由∠BCA=90°，可得AC⊥CB，
又∵PB∩CB=B，∴AC⊥平面PBC，
∵BE?平面PBC，∴AC⊥BE，
∵PB=BC，E為PC中點，∴BE⊥PC，
∵AC∩PC=C，∴BE⊥平面PAC，
∵BE?平面BEF，∴平面PAC⊥平面BEF；
（2）解：取AF的中點G，AB的中點M，連接CG，CM，GM，
∵E為PC的中點，2PF=AF，∴EF∥CG，
∵CG?平面BEF，EF?平面BEF，
∴CG∥平面BEF．
同理可證：GM∥平面BEF，∵CG∩GM=G，∴平面CMG∥平面BEF．
則平面CMG與平面平面BEF所成的二面角的平面角（銳角）就等于平面ABC與平面BEF所成的二面角的平面角（銳角）．
∵PB⊥底面ABC，CM?平面ABC
∴CM⊥PB，
∵CM⊥AB，PB∩AB=B，∴CM⊥平面PAB，
∵GM?平面PAB，∴CM⊥GM，
而CM為平面CMG與平面ABC的交線，
又AM?底面ABC，GM?平面CMG，∴∠AMG為二面角G-CM-A的平面角
根據條件可知AM=

2

，AG=

1

3

PA=

2 3

3

，
在△PAB中，cos∠GAM=

AB

AP

=

6

3

，
在△AGM中，由余弦定理求得MG=

6

3

，∴cos∠AMG=

3

3

，
故平面ABC與平面PEF所成角的二面角（銳角）的余弦值為

3

3

．

點評：本題考查面面垂直，考查面面角，解題的關鍵是掌握面面垂直的判定，正確作出面面角，屬于中檔題．