Question

【題目】已知橢圓，，分別是的上頂點和下頂點.

（1）若，是上位于軸兩側的兩點，求證：四邊形不可能是矩形；

（2）若是的左頂點，是上一點，線段交軸于點，線段交軸于點，，求.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1），計算，的斜率的乘積，根據斜率公式即可證明.
（2）設，分別求出直線的方程，求出點的坐標，再根據，結合點在橢圓上即可求出．

解法一：（1）依題意，，.

設，則，且，

設直線，的斜率分別為，，

則，

所以與不垂直，所以四邊形不可能是矩形.

（2）設，則，，且，

所以直線，令，得，

所以，

直線，所以，

又因為，所以，所以.

由得，，

解得或（舍去），

所以，，，故.

解法二：（1）假設四邊形為矩形，

因為，關于原點對稱，所以直線原點且，

設直線，，，

由得，解得，

所以，

所以，顯然不成立，

所以假設不成立，所以四邊形不可能是矩形.

（2）同解法一.