Question

【題目】已知數列滿足：（常數），，（，）.數列滿足：.

（1）分別求，，的值：

（2）求數列的通項公式；

（3）問：數列的每一項能否均為整數？若能，求出的所有可能值；若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）能，的所有取值為1和2.

【解析】

（1）利用遞推公式和已知能求出的表達式，再根據進行求解即可；

（2）把遞推公式變形，得到一個等式，再遞推一步，再得到一個等式，兩個等式相減，再經過變形，能得到以，即，最后求出數列的通項公式；

（3）假設存在正整數，使得數列的每一項均為整數.由（2）可得：，根據是整數，求出求出的值，然后逐一進行驗證即可.

（1）因為，，所以，

因為，所以，；

（2）當時，，……①，所以，……………②

①－②有：，即：，

所以，即，所以

（3）假設存在正整數，使得數列的每一項均為整數.

由（2）知……③

因為，，所以，

檢驗：當的，為整數，且，，結合③，數列的每一項均為整數，符合；

當時③變為

消去，得：（），因為，，所以數列的偶數項均為整數，

又因為，所以為偶數，且，所以，奇數項均為整數，符合.

綜上：的所有取值為1和2.