Question

【題目】如圖，在六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是棱A1B1 ， B1C1的中點，平面ABCD⊥平面A1B1BA，平面ABCD平面B1BCC1 ．
（1）證明：BB1⊥平面ABCD；
（2）已知六面體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長均為 ，cos∠BAD= ，設平面BMN與平面AB1D1相交所成二面角的大小為θ求cosθ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：過點D作DP⊥AB，過點D作DQ⊥BC，

由平面ABCD⊥平面A1B1BA，BB1平面A1B1BA，

得DP⊥BB1，

由平面ABCD⊥平面B1BCC1，BB1平面B1BCC1，

得DQ⊥BB1，

又DP∩DQ=D，∴BB1⊥平面ABCD

（2）解：由AB=AD= ，且cos∠BAD= ，

在△ABD中利用余弦定理得BD=2，

設AC與BD的交點為O， 與B1D1的交點為O1，

以O為原點，分別以OA，OB，OO1所在直線為x，y，z軸，

建立空間直角坐標系，

則B（0，1，0），M（1， ， ），N（﹣1， ， ），

C（﹣2，0，0），A1（2，0， ），A（2，0，0），

B1（0，1， ），D1（0，﹣1， ），

設平面BMN的法向量為 =（a，b，c），

=（1，﹣ ， ）， =（﹣2，0，0），

則 ，取b=10，得 =（0，10， ），

設平面AB1D1的法向量為 =（x，y，z），

=（﹣2，1， ）， =（0，﹣2，0），

則 ，取x=5，得 =（5，0，2 ），

∴cosθ= = ．

【解析】（1）過點D作DP⊥AB，過點D作DQ⊥BC，推導出DP⊥BB1 ， DQ⊥BB1 ， 由此能證明BB1⊥平面ABCD．（2）設AC與BD的交點為O， 與B1D1的交點為O1 ， 以O為原點，分別以OA，OB，OO1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出cosθ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．