Question

【題目】如圖是一個邊長為的正三角形和半圓組成的圖形，現把沿直線AB折起使得與圓所在平面垂直，已知點C是半圓的一個三等分點（靠左邊一點），點E是線段PB上的點，（1）當點E是PB的中點時，在圓弧上找一點Q，使得平面；（2）當二面角的正切值為時，求BE的長。

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）取圓弧CB的中點Q，AB的中點O，易證OQ//AC，OE//PA，得平面EOQ平面PAC，所以平面；（2）過C作AB的垂線交AB于G點，過G作直線AE的垂線交AE于H點，連CH，則即為二面角的平面角，利用直角三角形的性質可得結果.

試題解析：（1）取圓弧CB的中點Q，AB的中點O，易證OQ//AC，OE//PA，得平面EOQ平面PAC，所以平面；

（2）過C作AB的垂線交AB于G點，過G作直線AE的垂線交AE于H點，連CH，則即為二面角的平面角；

因為， ，在中可得，在中，可解得.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、二面角的定義及求法，屬于中檔題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.