Question

某中學組建了A、B、C、D、E五個不同的社團組織，為培養學生的興趣愛好，要求每個學生必須參加且只能參加一個社團，假定某班級的甲、乙、丙三名學生對這五個社團的選擇是等可能的．
（1）求甲、乙、丙三名學生中至少有兩人參加同一社團的概率；
（2）（文科）求甲、乙、丙三人中恰有兩人參加A社團的概率；
（3）（理科）設隨機變量ξ為甲、乙、丙這三個學生參加A社團的人數，求ξ的分布列與數學期望．

Answer 1

分析：（1）每個學生參加社團，有5種選法，由分步乘法原理即可求解，“甲、乙、丙三名學生中至少有兩名學生參加同一社團”的對立事件為“三名學生選擇三個不同社團”，利用對立事件的概率關系求解．
（2）求甲、乙、丙三人中恰有兩人參加A社團的方法數是12種，從而求出求甲、乙、丙三人中恰有兩人參加A社團的概率；
（3）ξ的所有可能取值為：0，1，2，3，利用古典概型分別求概率，列出分布列求期望即可．

解答：解：（1）甲、乙、丙三名學生每人選擇五個社團的方法數是5種，
故共有5×5×5=125（種）．
三名學生選擇三門不同社團的概率為：

A 3 5

53

=

12

25

．
∴三名學生中至少有兩人選修同一社團的概率為：1-

12

25

=

13

25

．
（2））（文科）求甲、乙、丙三人中恰有兩人參加A社團的方法數是12種
故所求概率為

12

125

（3）由題意：ξ=0，1，2，3
．P（ξ=0）=

43

53

=

64

125

； P（ξ=1）=

48

125

；
 P（ξ=2）=

12

25

； P（ξ=3）=

1

125

．
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	64 125	48 125	12 25	1 125

數學期望 Eξ=0×

64

125

+1×

48

125

+2×

12

25

+3×

1

125

=

3

5

．

點評：本題考查計數原理、古典概型、及離散型隨機變量的分布列和期望，難度不大．