Question

【題目】在正三棱錐中，平面，底面邊長，則正三棱錐的外接球的表面積為________.

Answer 1

【答案】

【解析】

由正棱錐的性質和平面可以推得兩兩互相垂直，由此可將正三棱錐補成一個正方體，并且正方體的外接球就是正三棱錐的外接球，通過求正方體的外接球的表面積，也就求出正三棱的外接球的表面積.

在正三棱錐中，取中點,連接，則,因為平面，又面，，

設，因為底面邊長，所以，

，

所以，即，解得，即，

所以在中有，所以是，即

又因為平面，所以，所以兩兩互相垂直，

所以將正三棱錐補為一個正方體，如下圖1所示，

正三棱錐的外接球，就是這個正方體的外接球，且正方體的棱長為2，

由下圖2可以看出，正方體的外接球的直徑等于正方體的體對角線長，

設外接球的半徑為R，則，解得，所以球的表面積，

故填：.