Question

若a₁＞0，a₁≠1，a_n+1=（n=1，2，…）
（1）求證：a_n+1≠a_n；
（2）令a₁=，寫出a₂、a₃、a₄、a₅的值，觀察并歸納出這個數列的通項公式a_n．

Answer 1

解：（1）證明：若a_n+1=a_n，
即=a_n，解得a_n=0或1．
從而a_n=a_n-1=…a₂=a₁=0或1，與題設a₁＞0，a₁≠1相矛盾，
故a_n+1≠a_n成立．
（2）由a₁=，得到a₂===，
a₃===，
a₄===，
a₅===，
…，
則a_n=（n∈N^*）．
分析：（1）采用反證法證明，先假設兩種相等，代入已知的等式中即可求出a_n的值為常數0或1，進而得到此數列為是0或1的常數列，與已知a₁＞0，a₁≠1矛盾，所以假設錯誤，兩種不相等；
（2）把n=1及a₁=代入已知的等式即可求出a₂的值，把n=2及a₂的值代入已知的等式即可求出a₃的值，把n=3及a₃的值代入已知等式即可求出a₄的值，把n=4及a₄的值代入已知的等式即可求出a₅的值，然后把求出的五項的值變形后，即可歸納總結得到這個數列的通項公式a_n．
點評：此題考查學生會利用反證法對命題進行證明的能力，會根據一組數據的特點歸納總結得出一般性的規律，是一道中檔題．