Question

【題目】如圖，四邊形是直角梯形，，，，，又，，，直線與直線所成的角為.

（1）求證：平面平面；

（2）（文科）求三棱錐的體積.

（理科）求二面角平面角正切值的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（文科），（理科）．

【解析】分析：（1）利用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理進行證明；（2）（文）借助（1）結論得到線面垂直，再利用線面角和余弦定理得到有關線段的長度，再利用等體積法進行求解；（理）借助（1）結論得到線面垂直，再利用線面角和余弦定理得到有關線段的長度，再利用線面垂直的判定和性質得到線面垂直和線線垂直，進而得到二面角的平面角，再通過解直角三角形求解．

詳解：（1）證明： 平面平面 平面. .

（2）（文科）取的中點，則，連接，.

∵ ，， ∴ ，，

∴ 平面，

∵ 直線與直線所成的角為，∴ ，

在中，由余弦定理得，

∴ 在中，，

∴ .

（理科）取的中點，則，連接，.

∵ ，， ∴ ，，

從而平面，

∵ 直線與直線所成的角為，∴ ，

在中，由余弦定理得，

在中，，

作于，由 平面 ，

∴ 為二面角的平面角，

在中，可得，

在中，.