Question

【題目】在直三棱柱中，為正三角形，點在棱上，且，點，分別為棱，的中點.

(1)證明：平面；

(2)若，求直線與平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】試題分析：（1）連接，，交于點，交于點，連接，易證，從而得證；（2）以點為坐標原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，平面的法向量為，，利用公式即可得到直線與平面所成的角的正弦值.

試題解析：

(1)證明：如圖，連接，，交于點，交于點，連接，

因為為矩形，所以為線段的中點，

因為點，分別為棱，的中點，

所以點為線段的中點，所以，

又因為，所以，

又平面，平面，

所以平面；

(2)由(1)知，，因為平面，所以平面，

因為為正三角形，且點為棱的中點，

所以，

故以點為坐標原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，，

則，，，，，

所以，，

因為，所以，

所以，解得.

所以，，

設平面的法向量為，

則，所以，

取，則，

又因為，設直線與平面所成的角為，

所以，

所以直線與平面所成的角的正弦值為.