Question

在△ABC中，角A，B，C所對分別為a，b，c，且1+

tanA

tanB

=

2c

b

．
（I）求角A：
（II）若向量

m

=（0，-1），

n

=（cosB，2cos²

C

2

），
試求|m+n|的最小值．

Answer 1

考點：正弦定理的應用,平面向量數量積的運算

專題：計算題,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質,解三角形,平面向量及應用

分析：（Ⅰ）運用正弦定理，將邊化為角，由同角的商數關系和兩角和的正弦公式，化簡計算即可得到A；
（Ⅱ）由向量的加法運算和向量的模的公式，結合兩角差的余弦公式和正弦公式，再由正弦函數的圖象和性質，即可求得最小值．

解答： 解：（I）由正弦定理，1+

tanA

tanB

=

2c

b

即為
1+

sinA cosA

sinB cosB

=

2sinC

sinB

，即

sinAcosB+cosAsinB

sinBcosA

=

2sin(A+B)

sinB

則cosA=

1

2

，0＜A＜π，
則A=

π

3

；
（II）向量

m

=（0，-1），

n

=（cosB，2cos²

C

2

），
|

m

+

n

|=|（cosB，2cos²

C

2

-1）|=|（cosB，cosC）|
=

cos2B+cos2C

=

cos2B+cos2( 2π 3 -B)

=

1+ 1 4 cos2B- 3 4 sin2B

=

1- 1 2 sin(2B- π 6 )

，
因為A=

π

3

，所以B∈（0，

2π

3

），2B-

π

6

∈（-

π

6

，

7π

6

），
sin（2B-

π

6

）∈（-

1

2

，1]，
當sin（2B-

π

6

）=1即B=

π

3

時，
|

m

+

n

|取得最小值，且為

2

2

．

點評：本題考查正弦定理和三角函數的化簡和求值，考查向量和的模的大小的求法，解題時要認真審題，注意三角函數公式的合理運用．