Question

已知a∈R，函數f(x)＝4x3－2ax＋a.

(1)求f(x)的單調區間；

(2)證明：當0≤x≤1時，f(x)＋|2－a|＞0.

 

Answer 1

(1) 函數f(x)的單調遞增區間為和，

單調遞減區間為.

(2)見解析

【解析】(1)由題意得f′(x)＝12x2－2a.

當a≤0時，f′(x)≥0恒成立，此時f(x)的單調遞增區間為(－∞，＋∞)．

當a＞0時，f′(x)＝12，

此時函數f(x)的單調遞增區間為和，

單調遞減區間為.

(2)證明：由于0≤x≤1，故當a≤2時，f(x)＋|a－2|＝4x3－2ax＋2≥4x3－4x＋2.

當a＞2時，f(x)＋|a－2|＝4x3＋2a(1－x)－2≥4x3＋4(1－x)－2＝4x3－4x＋2.

設g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，則

g′(x)＝6x2－2＝6.

于是

x	0				1
g′(x)		－	0	＋
g(x)	1	減	極小值	增	1

所以g(x)min＝g＝1－＞0.

所以當0≤x≤1時，2x3－2x＋1＞0.

故f(x)＋|a－2|≥4x3－4x＋2＞0.