Question

【題目】在平面直角坐標系中，動點到點的距離和它到直線的距離相等，記點的軌跡為.

（Ⅰ）求得方程；

（Ⅱ）設點在曲線上， 軸上一點（在點右側）滿足.平行于的直線與曲線相切于點，試判斷直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）直線過定點.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據拋物線的定義可得得方程；

（Ⅱ）設，則，與拋物線相切的直線為，與拋物線聯立得，由得，得點，進而求出直線AD的方程即可得定點.

試題解析：

（Ⅰ）因為動點到點的距離和它到直線的距離相等，

所以動點的軌跡是以點為焦點，直線為準線的拋物線.

設的方程為，

則，即.

所以的軌跡方程為.

（Ⅱ）設，則，

所以直線的斜率為.

設與平行，且與拋物線相切的直線為，

由得，

由得，

所以，所以點.

當，即時，直線的方程為，

整理得，

所以直線過點.

當，即時，直線的方程為，過點，

綜上所述，直線過定點.