Question

求曲線y=-x³+x²+2x與x軸所圍成的圖形的面積為

37

12

．

Answer 1

分析：求出函數y=-x³+x²+2x的零點，確定積分的上下限，然后利用定積分表示出曲邊梯形的面積，最后用定積分的定義求出所求即可

解答：解：令y=-x³+x²+2x=0可得函數y=-x³+x²+2x的零點：x₁=-1，x₂=0，x₃=2
又函數圖象先減后增，再減，屬于判斷出在（-1，0）內，圖形在x軸下方，在（0，2）內，圖形在x軸上方，
所以所求面積為：-

∫

0 -1

（-x³+x²+2x）dx+

∫

2 0

（-x³+x²+2x）dx=-（-

1

4

x⁴+

1

3

x³+x²）

|

0 -1

+（-

1

4

x⁴+

1

3

x³+x²）

|

2 0

=

37

12

故答案為

37

12

點評：本題考查了定積分在求面積中的應用，考查了學生會求出原函數的能力，屬于基礎題．