Question

【題目】設是實數，，

（1）若函數為奇函數，求的值；

（2）試用定義證明：對于任意，在上為單調遞增函數；

（3）若函數為奇函數，且不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1) m="1"

(2)根據函數單調性，結合定義設出變量，結合作差法得到，變形得到證明。

(3)

【解析】

試題（1）函數f（x）為奇函數，故可得f（x）+f（-x）=0，由此方程求m的值；（2）證明于任意m，f（x）在R上為單調函數，由定義法證明即可，設∈R，，研究的符號，根據單調性的定義判斷出結果；（3）因為f（x）在R上為增函數且為奇函數，由此可以將不等式對任意x∈R恒成立，轉化為即對任意x∈R恒成立，再通過換元進一步轉化為二次不等式恒成立的問題即可解出此時的恒成立的條件

試題解析：（1）∵，且

∴（注：通過求也同樣給分）∴

（2）證明：設，則

∵∴

∴即。 所以在R上為增函數。

（3）因為為奇函數且在R上為增函數，

由得：

∴即對任意恒成立。

令問題等價于對任意恒成立。

令，其對稱軸

當即時，，符合題意。

當時，即時，對任意，恒成立，等價于

解得：

綜上所述，當時，不等式對任意恒成立