Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O為AC與BD的交點，E為PB上任意一點．
（I）證明：平面EAC⊥平面PBD；
（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B-AE-C的大小為45°，求PD：AD的值．

Answer 1

解：（I）∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD
∵菱形ABCD中，AC⊥BD，PD∩BD=D
∴AC⊥平面PBD
又∵AC?平面EAC，平面EAC⊥平面PBD；
（II）連接OE，
∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，PD?平面PBD
∴PD∥OE，結(jié)合O為BD的中點，可得E為PB的中點
∵PD⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，
又∵OE?平面EAC，∴平面EAC⊥平面ABCD，
∵平面EAC∩平面ABCD=AC，BO?平面ABCD，BO⊥AC
∴BO⊥平面EAC，可得BO⊥AE
過點O作OF⊥AE于點F，連接OF，則
∵AE⊥BO，BO、OF是平面BOF內(nèi)的相交直線，
∴AE⊥平面BOF，可得AE⊥BF
因此，∠BFO為二面角B-AE-C的平面角，即∠BFO=45°
設(shè)AD=BD=a，則OB=a，OA=a，
在Rt△BOF中，tan∠BFo=，可得OF=
Rt△AOE中利用等積關(guān)系，可得OA•OE=OF•AE
即a•OE=a•，解之得OE=
∴PD=2OE=，可得PD：AD=：2
即PD：AD的值為．
分析：（I）根據(jù)PD⊥平面ABCD，得到AC⊥PD，結(jié)合菱形ABCD中AC⊥BD，利用線面垂直判定定理，可得AC⊥平面PBD，從而得到
平面EAC⊥平面PBD；
（II）連接OE，由線面平行的性質(zhì)定理得到PD∥OE，從而在△PBD中得到E為PB的中點．由PD⊥面ABCD得到OE⊥面ABCD，可證出平面EAC⊥平面ABCD，進(jìn)而得到BO⊥平面EAC，所以BO⊥AE．過點O作OF⊥AE于點F，連接OF，證出AE⊥BF，由二面角平面角的定義得∠BFO為二面角B-AE-C的平面角，即∠BFO=45°．分別在Rt△BOF和Rt△AOE中利用等積關(guān)系的三角函數(shù)定義，算出OE=，由此即可得到PD：AD的值．
點評：題給出一個特殊四棱錐，要我們證明面面垂直，并在已知二面角大小的情況下求線段的比值，著重考查了空間垂直位置關(guān)系的判斷與證明和二面角平面角的求法等知識，屬于中檔題．