Question

【題目】已知（），，其中為自然對數的底數.

（1）若恒成立，求實數的取值范圍；

（2）若在（1）的條件下，當取最大值時，求證： .

Answer 1

【答案】（1）; （2）見解析.

【解析】試題分析：（1）恒成立問題的兩種處理方法：法一：分類討論：求導利用函數的單調性求解即可；法二：分離參數． 恒成立在上恒成立，令求函數最值即可.

（2）要證 ，先證明： 時， ，只需要證明. 令求導利用單調性即可證得.

試題解析：

（1）解：法一：分類討論．因為，

①當時， 所以，

故在上單調遞增，

所以，所以

②當時，令，

若， ；若， ，

所以在上單減，在上單增；

所以，

解得，此時無解，

綜上可得．

法二：分離參數． 恒成立在上恒成立．

令，則

所以在上單增，

故，所以

（2）證明：由題意可知， ．

要證 （*）

先證明： 時， ．

令．

當時， ，所以在上單減，

所以，所以．

所以要證明（*）式成立，只需要證明（**） ……（8分）

令，則，

，令

又在上單調遞增，則在上， ，

在， ．

所以， 在上單減，在上單增，

所以，

所以在上單調遞增，所以．

所以（**）成立，也即是（＊）式成立．故