Question

【題目】已知點是拋物線的焦點，是拋物線在第一象限內的點，且，

(I) 求點的坐標；

(II)以為圓心的動圓與軸分別交于兩點，延長分別交拋物線于兩點；

①求直線的斜率；

②延長交軸于點，若，求的值.

Answer 1

【答案】(I) (II)①②

【解析】

(I)由拋物線的定義，可求出點的橫坐標，代入方程中，求出點的縱坐標；

(II) ①設直線SA的斜率為k，可設出SA直線方程，與拋物線方程聯立，求出點M的坐標，由題意可知：SA=SB，因此可求出直線SB的斜率，可設出直線SB的方程，同理，可以求出N點的坐標，代入斜率公式，求出直線的斜率；

②設出E點坐標，由，可得到，從而求出斜率k，求出A點坐標，同理求出B點坐標，利用余弦定理求出的值，也就求出的值。

如下圖所示：

(I)設，拋物線的焦點為，準線方程為由拋物線的定義可知，所以點的坐標為（1，1）；

(II) ①設直線SA的直線方程為：與拋物線方程聯立：

，設，，

所以，因為以為圓心的動圓與軸分別交于兩點，所以SA=SB,因此直線SB的斜率為-k,同理可求出,；

②設， ,

，

則直線SA的方程為，A點坐標為，同理B點坐標為，,

，所以