Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點分別為，，若橢圓經過點，且的面積為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設斜率為的直線與以原點為圓心，半徑為的圓交于，兩點，與橢圓交于，兩點，且，當取得最小值時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最小值，直線的方程為.

【解析】試題分析：（1）由三角形的面積，即可求得c=2,將點代入橢圓方程，由橢圓的性質a2=b2+c2，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；

（2）直線的方程為，則原點到直線的距離，由弦長公式可得．將代入橢圓方程，得，得．可得．可得所求結論.

試題解析：（1）由的面積可得，即，∴．①

又橢圓過點，∴．②

由①②解得，，故橢圓的標準方程為．

（2）設直線的方程為，則原點到直線的距離，

由弦長公式可得．

將代入橢圓方程，得，

由判別式，解得．

由直線和圓相交的條件可得，即，也即，

綜上可得的取值范圍是．

設，，則，，

由弦長公式，得．

由，得．

∵，∴，則當時，取得最小值，此時直線的方程為．

點睛:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用．