Question

（本小題滿分12分）橢圓：的左、右焦點分別為，焦距為2，，過作垂直于橢圓長軸的弦長為3．
(Ⅰ)求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過的直線l交橢圓于兩點．并判斷是否存在直線l使得的夾角為鈍角，若存在，求出l的斜率k的取值范圍。

Answer 1

(Ⅰ)；（Ⅱ） 。

試題分析：(Ⅰ)依題意             2分
解得，∴橢圓的方程為：               4分
（注：也可以由，橢圓定義求得）
（Ⅱ）（i）當過直線的斜率不存在時，點，；則；5分
(ii)當過直線的斜率存在時，設斜率為，則直線的方程為，
設, 由   得：
            7分

         10分
當的夾角為鈍角時，<0，            11分
情形（i）不滿足<0，                12分
點評：求圓錐曲線的標準方程是解析幾何的基本問題，在研究直線與橢圓的位置關系中，常常用到韋達定理，以實現整體代換，向量知識常在條件中出現，以達到綜合考查的目的。